2021/01/15

看了一本数学普及读物，张景中《数学与哲学》，之后感到启发非常大。

我理解的数学危机就是说，某一段时间的数学家集体遇到一个大问题，他们所有人都没法回避这个问题，到了非解决不可的地步。我听说罗素是指出了朴素集合论里的悖论，并且当时朴素集合论已成为数学的基础，这样就导致了第三次数学危机。

我还听说对此有三种解悖方案，罗素想出了类型论去解决，又有一种称为公理化集合论ZFC的方案，成为最常用的，还有所谓的直觉主义解决方案。

希尔伯特的名字会让我联想到他的想法很宏大，他希望利用严谨的数学解决世界上所有问题，因此他是想推动数学都公理化。与之对立的布劳威尔则根本就认为集合论有瑕疵，主张数学直觉主义，因此我看到希尔伯特的维基上说到他们为此结下了很深的梁子，这正是数学形式主义和数学直觉主义的一次碰撞与对抗。

数学经历了第三次危机之后，我感觉是分叉了，各路人分别以各自信奉的数学哲学进行发展。最起码这三种解悖方案就是信奉三种数学哲学吧，我是这样想的。罗素是个逻辑学家，推测数学是逻辑的延伸，可知他奉行逻辑主义，再加上数学形式主义和数学直觉主义。

越想越能觉得数学是一个很神奇的学科，枝繁叶茂的，又一块一块的分裂，据我看的这本书说，莱布尼茨、弗雷格、罗素都将一统数学的希望寄托在逻辑学上，结果就会导出那种不讨喜的很复杂的理论。数学直觉主义和数学形式主义都将一统数学的希望寄托在算术上，结果哥德尔定理说算术也不是统一的。各路数学家一统数学的努力都不成功，反而凸显出数学的困难、深邃，还有迷人。

说到数学直觉主义，我看书中说到这个数学直觉主义属于一种数学构造主义，数学构造主义认为数学研究的对象只有用有限的步骤构造出来的才能予以考虑，这样的话，构造不出来的对象就不予考虑，于是此种思维逻辑与计算机非常有缘分，因为计算机正是需要有限的、可构造的数学。我感到很有趣的是书里还讲到，这种数学构造主义完全的反柏拉图主义，并且还很有可能因为计算机技术的发达而成为数学界的主流，这就让人浮想联翩。我还联想到现代哲学里那些反柏拉图的理论，是不是与此有亲缘关系。